Intégrale et inégalités

Propriété

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) et \(a\) et \(b\) deux nombres réels de \(I\) tels que \(a<b\).

• Positivité : si, pour tout réel \(x\) de \([a~;~b]\) on a \(f (x) \geqslant 0\), alors \(\displaystyle \int_a^b f(x)\ \text d x \geqslant 0\).
  
• Conservation de l'ordre : si, pour tout réel \(x\) de \([a~;~b]\) on a \(f (x) \leqslant g(x)\), alors \(\displaystyle \int_a^b f(x)\ \text d x \leqslant \displaystyle \int_a^b g(x)\ \text d x\).
  

Remarque

Si on suppose de plus que \(f\) et \(g\) sont positives sur \(\left[a~;~b\right]\), alors cette propriété de conservation de l'ordre peut s'expliquer par une considération sur des aires. En effet, pour tout réel \(x\) de \([a~;~b]\), on a \(f (x) \leqslant g(x)\) signifie que la courbe représentative de la fonction \(f\) est en dessous de la courbe représentative de \(g\). Ainsi, le domaine délimité par la courbe représentative de \(f\), l'axe des abscisses et les droites d'équations \(x=a\) et \(x=b\) est plus petit que celui délimité par la courbe représentative de \(g\).

Exemple
Pour tout réel \(x\) de l'intervalle \(\left[0~;~1\right]\text{, } x^2\leqslant x\) ainsi \(\displaystyle \int_0^1 x^2\ \text d x \leqslant \displaystyle \int_0^1 x\ \text d x\).
Par ailleurs, sur \(\left[1~;~10\right]\text{, } x^2\geqslant x\) ainsi \(\displaystyle \int_1^{10} x^2\ \text d x \geqslant \displaystyle \int_1^{10} x\ \text d x\).